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函数的最小正周期怎么求

更新:2023-08-09 23:06:22 高考升学网

所谓的函数的最小正周期,一般在高中时期的话遇到的都是那种特殊形式的函数,比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a。还有是三角函数y=A sin(wx+b)+t,最小正周期就是T=2帕/w。

最小正周期求法

公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ,正余切函数T=π/|ω|。

函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是;函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是,运用这一结论,可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0)一类三角函数的最小正周期(这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数)。

例3、求函数y=cotx-tanx的最小正周期.

解:y=1/tanx-tanx=(1-tan^2? x)/tanx=2(1-tan^2?x)/(2tanx)=2cot2x

∴T=π/2

函数为两个三角函数相加,若角频率之比为有理数,则函数有最小正周期。

最小公倍数法

设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数,分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。

求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期,可以先求出各个三角函数的最小正周期,然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。

例4、求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.

解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=2π/3,T2=2π/5 ,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.

例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.

解:∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π.

∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.

说明:几个分数的最小公倍数,我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子,各分母的最大公约数为分母的分数。

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